قضیه‌ی فیثاغورث (Pythagoras Theorem)، رابطه‌ی بین سه ضلع یک مثلث قائم‌الزاویه را توضیح می‌دهد. طبق قضیه‌ی فیثاغورث، مجذور وتر برابر با مجموع مجذورات دو ظلع قائمه است. تاکنون اثبات‌های مختلفی برای این قضیه ارائه شده است (حدود 370 روش!). سه نوع اثبات هندسی را در اینجا مورد بررسی قرار می‌دهیم.

مثلث قائم‌الزاویه‌ی ABC، با اضلاع قائمه‌ی a و b و وتر c را که در راس C قائمه است در نظر بگیرید. طبق قضیه‌ی فیثاغورث، رابطه‌ی زیر برقرار است: $$c^2=a^2+b^2$$ اثبات اول: جهت اثبات این قضیه، بیایید چهار نمونه از همان مثلث را به شکل زیر در کنار هم قرار دهیم. واضح است که چهارظلعی‌های DEFG و HIJK مربع هستند. زیرا هر چهار زاویه‌ی آن‌ها قائمه بوده (چرا؟) و طول هر چهار ضلع آنها برابرند. طول ضلع مربع DEFG برابر $a+b$ می‌باشد. لذا مساحت آن برابر است با: $${\text{Aera}}_{\text{DEFG}}={(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$$ از طرفی، مساحت مربع DEFG از جمع مساحت چهار مثلث قائم‌الزاویه و مربع HIJK تشکیل شده است. رابطه‌ی آن‌ها را نیز می‌نویسم: $${\text{Aera}}_{\text{DEFG}}=4\times \left(\frac{1}{2}ab\right)+{\text{Aera}}_{\text{HIJK}}=2ab+c^2$$ حال اگر دو رابطه‌ی فوق را مساوی هم قرار دهیم، خواهیم داشت: $$\cancel{2ab}+c^2=a^2+\cancel{2ab}+b^2\Rightarrow c^2=a^2+b^2$$ و این همان رابطه‌ی مربوط به قضیه‌ی فیثاغورث می‌باشد که اثبات شد.

از مطلب مجموع زوایای داخلی چندضلعی به یاد دارید که مجموع زوایای داخلی هر مثلث، برابر 180 درجه است. در مثلث قائم‌الزاویه، با توجه به این‌که یکی از زاویه‌ها قائمه است، مجموع دو زاویه‌ی دیگر برابر 90 درجه است.

اثبات دوم: این بار، بیایید چهار نمونه از همان مثلث را به شکل دیگری در کنار هم قرار دهیم.

واضح است که چهارظلعی DEFG و چهارضلعی کوچک داخلی آن مربع هستند. زیرا هر چهار زاویه‌ی آن‌ها قائمه بوده (چرا؟) و طول هر چهار ضلع آنها برابرند. طول ضلع مربع DEFG برابر $c$ می‌باشد. لذا مساحت آن برابر است با: $${\text{Aera}}_{\text{DEFG}}=c^2$$ از طرفی، مساحت مربع DEFG از جمع مساحت چهار مثلث قائم‌الزاویه و مربع کوچک داخل آن به‌دست می‌آید. رابطه‌ی آن‌ها را می‌نویسم: $${\text{Aera}}_{\text{DEFG}}=4\times \left(\frac{1}{2}ab\right)+{(a-b)}^2=\cancel{2ab}+a^2-\cancel{2ab}+b^2=a^2+b^2$$ حال اگر دو رابطه‌ی فوق را مساوی هم قرار دهیم، خواهیم داشت: $$c^2=a^2+b^2$$ و این همان رابطه‌ی مربوط به قضیه‌ی فیثاغورث می‌باشد که به روش دیگری اثبات شد.

برای قضیه‌ی فیثاغورث، بیش از هر قضیه‌ی دیگری در ریاضیات اثبات وجود دارد. برخی از آن‌ها را در این منبع می‌توانید مشاهده کنید.

اثبات سوم: ارتفاع مثلث را از راس قائمه بر وتر رسم کرده و نقطه‌ی تلاقی آن را H می‌نامیم:

واضح است که رابطه‌ی زیر برقرار است: $$\text{AB}=\text{AH}+\text{HB}$$ حال، مثلث‌های ABC و ACH را در نظر بگیرید. این دو مثلث به حالت ززز (سه زاویه) باهم متشابه هستند. زاویه‌های مساوی با رنگ‌های یکسان در شکل زیر نشان داده شده است: لذا نسبت اضلاع متناظر نیز باهم برابر خواهد بود: $$\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{AC}}{\text{AH}}\Rightarrow \text{AB}\times \text{AH}={\left(\text{AC}\right)}^2$$ این رابطه را به‌خاطر داشته باشید. به سراغ تشابه بعدی می‌رویم. مثلث‌های ABC و CBH را در نظر بگیرید. این دو مثلث نیز به حالت ززز (سه زاویه) باهم متشابه هستند. زاویه‌های مساوی با رنگ‌های یکسان در شکل زیر نشان داده شده است: لذا نسبت اضلاع متناظر نیز باهم برابر خواهد بود: $$\frac{\text{AB}}{\text{CB}}=\frac{\text{CB}}{\text{HB}}\Rightarrow \text{AB}\times \text{HB}={\left(\text{CB}\right)}^2$$ حال رابطه‌ی به‌دست آمده را با رابطه‌ی قبلی جمع می‌کنیم: $$\text{AB}\times \text{AH}+\text{AB}\times \text{HB}={\left(\text{AC}\right)}^2+{\left(\text{CB}\right)}^2\Rightarrow \text{AB}\times (\text{AH}+\text{HB})={\left(\text{AC}\right)}^2+{\left(\text{CB}\right)}^2$$ اگر بجای AH+HB، مقدار AB را قرار دهیم، خواهیم داشت: $${\left(\text{AB}\right)}^2={\left(\text{AC}\right)}^2+{\left(\text{CB}\right)}^2$$ و این همان رابطه‌ی مربوط به قضیه‌ی فیثاغورث می‌باشد.